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El trabajo prehelénico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atención a las características esenciales sobre la naturaleza lógica del pensamiento matemático y su necesidad de pruebas deductivas. Tuvo una clara influencia en los trabajos iniciales de los filósofos y matemáticos griegos.
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Formuló un buen número de
problemas (paradojas) basados en el infinito. -
Método de Exhaución. El método se llama así porque se puede pensar en expandir sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den cuenta ("dejen exhausta") del área requerida. Cobra importancia como recurso para hacer demostraciones rigurosas en geometría.
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Introdujo los métodos deductivos a través de procesos
sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos. -
Su primer avance importante fue mostrar que el área de
un segmento de parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y vértice, y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito.
Utilizó el método de exhaución para encontrar una aproximación al área del círculo.
Calculó algunas integrales: el volumen y área de una esfera, volumen y área de un cono, área de una elipse, volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y de un segmento de un hiperboloide de revolución. -
Una época de avances hacia la formulación posterior del Cálculo como estudio de la variación.
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En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su método consistió en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o aproximada el volumen de más de 90 sólidos de revolución, considerando el sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes conocidos.
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Publicó su “Geometria Indivisibilis Continuorum Nova” en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen.
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Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas polinomiales y = f (x) , compara el valor de f(x) en un punto x, con el valor f (x + E) , con E como un intervalo cada vez más pequeño alrededor de x.
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Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó
sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y=x ^k, donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton. -
Cálculo de tangentes como vectores de “velocidad instantánea”. Cicloide: su área es 3 veces la del círculo que la genera.
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Maestro de Newton. La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la secante. En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de
presentar el carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un sentido estrictamente geométrico. -
Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de ”Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable continua y ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por f dx.
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En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes
pasajes, claras exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo. -
Isaac Newton [https://www.youtube.com/watch?v=jJL2AUSXMrM]
