Hacia el Cálculo Infinitesimal

  • 450 BCE

    Zenón de Elea ( 490ac-425ac) Problemas con el Infinito

    Zenón de Elea ( 490ac-425ac) Problemas con el Infinito
    Formuló un buen número de pardojas relacionadas con el infinito, marcando un punto de partida con esta noción.
    Sus cuatro paradojas: la de la Dicotomía, la de Aquiles, la de la Flecha y la del Estadio.
    Zenón contrario al pensamiento pitágorico sobre los "indivisibles" qurería señalar que el espacio y tiempo eran infinitamente divisibles abarcando el tema de continuidad.
    Con el cálculo ya desarrollado prueba que una suma de infinitos sí puede dar un finito, descartando la paradoja de Aquiles.
  • 370 BCE

    Eudoxo de Cnido (408ac-355ac) :Creador del Método de Exhausción

    Eudoxo de Cnido (408ac-355ac) :Creador del Método de Exhausción
    El método de Exhausción se reconoce como predecesor del cálculo de límites.
    Este método permitía lograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas al expandir sucesivamente áreas hasta quedar exhausta.
    En su teoría de las proporciones, cita la idea de continuidad y de magnitudes "no finitas".
  • 263 BCE

    Liu Hui siglo 295ac-225ac

    Liu Hui siglo 295ac-225ac
    Caculó pi con un método parecido al de exhausción que usó Arquímedes.Su precisión de cinco decimales (3,14159), por medio de un polígono regular de 192 lados. Hui publicó su resultado en un comentario al libro: "Nueve capítulos del arte matemático", un tratado de matemáticas que proporcionaba métodos para resolver problemas cotidianos de ingeniería, topografía, comercio o impuestos, a partir de 246 problemas prácticos.
  • 225 BCE

    Arquímedes (287ac-212ac)Sobre la Cuadratura de la Parábola y en Espirales.

    Arquímedes (287ac-212ac)Sobre la Cuadratura de la Parábola y en Espirales.
    En el problema de hallar el área de un segmento parabólico, la demostracion que usó es similar a una integración con tintes de exhausción.Fue de hecho, quién llevó a otro nivel , el Método de Exhausción.
    Respetó el principio de la geometría abstracta de que ningún problema del infinito puede ser reducido a lo finito, así Arquímedes supone la existencia del infinito, indirectamente.Con ello introduce los procedimientos que serán varios siglos después, la base del cálculo.
  • 205 BCE

    Apolonio de Pérgamo (262ac-190ac) El "Gran Geómetra" y las secciones conicas.

    Apolonio de Pérgamo (262ac-190ac) El "Gran Geómetra" y las secciones conicas.
    Apolonio tuvo una organización deductiva en matemática como pocos.Acuñó los términos elipse, hipérbola y parábola.Se puede decir que 20 siglos antes introduce nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y logra obtener estos elementos para las cónicas de la manera más rigurosa.
    Varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal.
  • 1370

    Nicolás Oresme (1323-1382) Potencias Racionales-Series Infinitas

    Nicolás Oresme (1323-1382) Potencias Racionales-Series Infinitas
    Desarrollo las potencias no solo de exponentes enteros sino racionales, incluso, se deduce que hasta exponentes irracionales.
    Determinó las leyes particulares de convergencia o divergencia de algunas series infinitas (la serie armónica por ejemplo).
    Oresme fue predecesor de la geometría de coordenadas,e influenció a Descartes.
    Sus nociones facilitarón el trabajo de Galileo y Torricelli para usar conceptos de movimiento , como el área bajo la curva , esto gracias a la representación gráfica.
  • Period: 1500 to

    Hacia el cálculo en la modernidad (1500-1748)

  • Johannes Kepler (1571-1630). Áreas y Volúmenes

    Johannes Kepler (1571-1630). Áreas y Volúmenes
    Kepler, basándose en el trabajo de Arquímedes, utilizó la resolución en "indivisibles" mejorada por Cavalieri años despúes.
    Dada la necesidad en sus trabajos de movimientos planetarios, Kepler tuvo que buscar métodos para encontrar el área de sectores de una elipse usando sumas de líneas. En su obra "Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino", consideró el sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes; calculando más de 90 sólidos.
  • Bonaventura Cavalieri (1548-1647). "Los Indivisibles"

    Bonaventura Cavalieri (1548-1647). "Los Indivisibles"
    Se le reconoce por ser un precursor al cálculo.
    En su Geometría "Indivisibilibus continuorum", utiliza el concepto de "indivisible".Cavalieri generó rectas a partir de puntos y los planos a partir de rectas por medio del movimiento.Con esto desarrollo el principio de Cavalieri que afirma que si dos cuerpos tienen la misma altura e igual área en sus secciones planas realizadas al mismo nivel, tienen igual volumen.
    Sus aportes carecen de rigor y son dados de forma heurística.
  • Evangelista Torricelli (1608-1647). Las tangentes y el movimiento

    Evangelista Torricelli (1608-1647). Las tangentes y el movimiento
    Torriceli, discipulo de Galileo, desarrollo un método para calcular tangentes por medio de la cinematica,estos conceptos de movimiento le permitierón obtener el área bajo la curva.
    Al estudiar el movimiento con velocidad variable le llevó a que la derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa
    nos lleva de la velocidad a la distancia; derivada e integral son inversas y Newton se daría cuenta más adelante de esto.
  • Gilles Persone de Roberval (1602- 1675).Cuadratura de la Cicloide

    Gilles Persone de Roberval  (1602- 1675).Cuadratura de la Cicloide
    Basado en los indivisibles de Cavalieri, Roberval logra desarrollar la cuadratura de la cicloide.(curva que describe un punto de la circunferencia que rueda sin deslizar)
  • René Descartes (1596-1650) La Unificación del Álgebra y la Geometría

    René Descartes (1596-1650) La Unificación del Álgebra y la Geometría
    Preparación para las nuevas matemáticas infinitesimales al estructurar los asuntos de la geometría apartir del álgebra.
    La "Géométrie" de Descartes fue publicada en 1637 como uno de tres apéndices de su Discurso del Método.Se interezó en solucionar el problema de las tangentes; trazó la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva.
    Descartes comúnmente empezaba con una curva y derivaba su ecuación algebraica.
    René Descartes ,es considerado el “Padre” de la Geometría Analítica.
  • Pierre de Fermat: (1601-1665). Parábolas,cuadratura de la hipérbola y la tangente a la curva.

    Pierre de Fermat:  (1601-1665). Parábolas,cuadratura de la hipérbola y la tangente a la curva.
    Fermat había descubierto un método para encontrar máximos y mínimos.Trabajando en la geometría de coordenada descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica. Un claro antecedente del concepto de derivada.
    Dividió el área bajo la curva en elementos de área infinitamente pequeños.Luego aproxima la suma de esos elementos de área por medio de rectángulos infinitesimales.
    Intentó expresar algo parecido a un límite de dicha suma .
  • John Wallis(1616-1703) La aritmética de los infinitos.

    John Wallis(1616-1703) La aritmética de los infinitos.
    Escribió su Arithmetica Infinitorum en él asume el principio de continuidad originado por Kepler.
    Wallis utilizó procesos infinitos, como productos y series, potenciando el uso del álgebra en consecuencia hubo mejores resultados en la geometría analitica asociandola con el analisis infinitesimal.
    Introdujo el símbolo de infinito que usamos hoy en día.
    Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico.
    Influenció a Newton con sus series infinitas.
  • Johannes Hudde (1628-1704) "La Regla de Hudde"

    Johannes Hudde (1628-1704) "La Regla de Hudde"
    Desarrolló un ingenioso método para encontrar soluciones dobles de ecuaciones algebraicas, denominado como Regla de Hudde.
    En ella, las ecuaciones polinómicas ordinarias son transformadas hasta obtener resultados similares a los que se obtendrían con el actual cálculo de derivadas.
    Generalizó el método de máximos y mínimos de Fermat partiendo de su regla, antes descrita.
  • Blaise Pascal (1623 - 1662) Tratado de los senos de cuadrantes circulares

    Blaise Pascal (1623 - 1662) Tratado de los senos de cuadrantes circulares
    Pascal introduce el triángulo característico en el círculo y lo utiliza para calcular el área encerrada por la función seno.Esto daría lugar a relacionar los problemas de cuadraturas y tangentes, estando muy cerca de ser el primero en obtener el teorema fundamental del cálculo.Finalmente Leibniz lo generalizó para ser base del cálculo diferencial.
    Leibniz también dio creditos a Pacal por darle claridad en la relación inversa entre tangentes y cuadraturas.
  • Isaac Newton (1642-1727) El nacimiento del cálculo

    Isaac Newton  (1642-1727)  El nacimiento del cálculo
    Con el nombre de "Teoría de Fluxiones",Newton crea el cálculo,las funciones x,y,z eran fluentes y las derivadas fluxiones.
    En terminos de infinitesimales, lo incluye en su De analysi en 1669 y los límites en 1704 con la obra De Quadratura Curvarum.
    Radical importancia la serie de potencias,en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración que matemáticos anteriores no puierón observar.
  • James Gregory (1638-1675) Funciones con series al infinito

    James Gregory (1638-1675) Funciones con series al infinito
    Su trabajo "Vera Circuli et Hiperbolae Quadratura" permitió desarrollar el concepto de función.
    Gregory contribuyó con los procesos que implican el infinito, así, las series divergentes que tendía al infinito fue precursora del cálculo infinitesimal,también calculaba áreas con las series convergentes.(termino que acuñó)
    Gregory fue el primero en publicar una demostración relacionada con el Teorema Fundamental del Cálculo, aunque de forma restringida.
  • Isaac Barrow (1630-1677) "EL triángulo de Barrow": tangentes y cuadraturas.

    Isaac Barrow (1630-1677) "EL triángulo de Barrow": tangentes y cuadraturas.
    En 1670 se publica "Lectiones Geometricae" donde utiliza el triangulo de Barrow, que es cuando la hipotenusa forma un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las absisas y las ordenadas de los extremos del arco.
    Aportó en el Teorema fundamental del cálculo, que deja ver como la integración y derivación son operaciones inversas,una consecuencia directa del teorema mencionado anteriormente, es también conocido como la Regla de Barrow en su honor .
  • Christian Huygens (1629 - 1695) Curvas en el plano

    Christian Huygens (1629 - 1695) Curvas en el plano
    En su obra "Horologium oscillatorium" ,pese a tratar asuntos referidos al tiempo, incluye curvas que fuerón importantes para la teoría que desarrollaría principalmente Leibniz, pero también Newtón.Estas curvas fuerón la catenaria, la tractriz, y la logarítmica.
    También huygens, resolvió problemas geometricos como rectificar la cisoide y determinar la curvatura de la cicloide.
    Finalmente , agregó conceptos acerca de la segunda derivada.
  • Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Otro camino hacia el cálculo

    Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Otro camino hacia el cálculo
    Leibniz crearía el cálculo 10 años despúes que Newton, aunque lo publicó antes en 1684, el enfoque de él fue Geometrico ,a diferencia de Newton que era físico.
    Llevó al cálculo a una solución general para problemas en terminos de derivación e integración,al igual que Newton
    Dió un nuevo método para máximos y mínimos, y también para tangentes, dando enfasís, en la suma infinita de infinitesimales.
    La notación de Leibniz fue superior ,creó los símbolos de integral y derivada usados hasta hoy.
  • Los Bernoulli :Jacob (1654 - 1705) - Johann (1667 - 1748)

    Los Bernoulli :Jacob (1654 - 1705) - Johann (1667 - 1748)
    Entre los aportes en conjunto tenemos las "Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli", formuladas por Jacob y resueltas por su hermano Johann.
    Johann también aportó "Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas" primera obra sobre cálculo diferencial de la historia y que fue escrita por Francois L'Hôpital (su alumno).
    Jacob estudió la curva braquistócrona que lo llevó a crear el cálculo de variaciones.
    Contribuyeron fuertemente a la obra de Leibnitz.
  • Guillaume François, marqués de L'Hôpital (1661-1704)

    Guillaume François, marqués de L'Hôpital (1661-1704)
    Discipulo de Johann Bernouilli.
    En su obra "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes", desarrolló el cálculo diferencial usando cantidades infinitesimales estableciendo ciertas reglas.
    Aquí incluye la regla que lleva su nombre y es tan conocida, todo gracias a Johann Bernoulli que le envió este descubrimiento.
    Esta trata usar derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
  • Leonhard Euler (1707-1783) El concepto de Función

    Leonhard Euler (1707-1783) El concepto de Función
    A la función la definió como una expresión en la que, no sólo había operaciones algebraicas,sino también el paso al límite de sucesiones, sumas de series y las funciones elementales conocidas.(el paso a funciones analíticas)
    Euler unificó el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, en la obra introductio in analysin infinitorum.
    El cálculo diferencial e integral, la teoría de las ecuaciones diferenciales lo incluye en otras 2 grandes obras.Trabajó en el cálculo de funciones de 2 y 3 variables.
  • Period: to

    El avance del Cálculo infinitesimal

  • Bernhard Bolzano (1781-1848) Funciones continuas reales y el ifinito

    Bernhard Bolzano (1781-1848)  Funciones continuas reales y el ifinito
    Estudió la continuidad de una función con intervalo no derivable, se dió cuenta de la diferencia entre continuidad y derivabilidad.
    En 1817, con los trabajos de continuidad; crea el "Teorema de Bolzano".
    Él definió la derivada por primera vez como un límite.Bolzano sabía que f'(x) no es un cociente de ceros o una cantidad que desaparece,sino,un número al que aproxima.
    Bolzano puso un conjunto en correspondencia biunívoca con uno de sus subconjuntos propios para considerar un conjunto infinito.
  • Augustin Cauchy(1789-1857) Tres nociones: Variable, Función, Límite y Continuidad

    Augustin Cauchy(1789-1857) Tres nociones: Variable, Función, Límite y Continuidad
    Él presentó un cálculo más riguroso,definió al límite como aquél valor que toma una variable y se aproximan indefinidamente a un valor fijo de manera que terminan por diferir de él en tan poco.
    Cauchy publicó "Curso de Analisis" donde expone a los infinitamente pequeños como variables con límite cero y los infinitamente grandes cuyo valor crece indefinidamente y converge al infinito.
    Obtuvo el Teorema de valor medio y de Cauchy, la diferencial es la función líneal que aproxima la función dada.
  • Niels Henrik Abel (1802-1828) Funciones Eíipticas "Integrales Abelianas"

    Niels Henrik Abel (1802-1828) Funciones Eíipticas "Integrales Abelianas"
    Abel cambió totalmente la teoría de integrales elípticas en la teoría de funciones elípticas.Hizo uso de las funciones inversas ,resultando más fáciles de manejar.
    Abel la consideró como una función "x" de "y", como una función elíptica. La función inversa x = f(y) así obtenida, resultó ser doblemente periódica y podía expresarse como cociente de dos productos infinitos.
    Lo anterior se convirtió en uno de los mayores progresos del siglo XIX.
  • Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Geometría Diferencial de superficies curvadas

    Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Geometría Diferencial de superficies curvadas
    Por encomienda, Gauss escribe un artículo llamado "Disquisitiones generales circa superficies curvas" para introducir coordenadas curvilineas y obtuvo la forma diferencial cuadrática para longitud de arco, lo anterior hizo posible determinar las curva geodésicas.
    Formuló los conceptos de curvatura gaussiana y curvatura integral y su principal resultado el theorema egregium, que junto al teorema de Gauss-Bonnet sobre curvatura integral son el centro de la geometría diferencial.
  • Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859) Esclarecimiento de lo que es una función

    Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859) Esclarecimiento de lo que es una función
    Dirichlet da la definición de variables de una función como se usa hoy en día.Él define: "La variable "y" es función de la variable x cuando a cada valor de x en un intervalo le corresponde un valor de y", independientemente de que haya expresiones que liguen "y" con "x".
  • Karl Weierstrass (1815-1897) Convergencia uniforme,Continuidad, Teoría de funciones

    Karl Weierstrass (1815-1897) Convergencia uniforme,Continuidad, Teoría de funciones
    Le dio un rigor especial a las nociones de función, derivada y continuidad.
    Probó la existencia de máximo y mínimo para una función continua definida en un intervalo cerrado.
    Descubrió la convergencia uniforme, crucial para diferenciar o integrar series termino a termino.
    Fundamentó la teoría de las funciones complejas sobre series de potencias.
    Dió el principio de "prolongación analítica" útil para las ecuaciones diferenciales en la física.
    Se le considera el "Padre del Análisis Matemático".
  • Bernhard Riemann (1826-1866) "La integral de Riemann"

    Bernhard Riemann (1826-1866) "La integral de Riemann"
    Estudiante de Gauss, Riemann crea la integral que lleva su nombre cuando estudia las condiciones de Dirichlet para expandir una función como serie de Fourier.
    Riemann fue vital para el esclarecimiento de la integral, su método es útil para un tipo de cálculo elemental, aunque para funciones muy discontinuas,resulta un primer inconveniente, este problema se solucionaría años más tarde con Lebesgue cuando crea su integral.
  • Henri Lebesgue (1875-1941) La teoría de la medida y la integral de Lebesgue

    Henri Lebesgue (1875-1941) La teoría de la medida y la integral de Lebesgue
    Los inconvenientes que tuvo la integral de Riemann son solventados con la integral de Lebesgue, pues cumple un mayor número de teoremas de convergencia.
    En su trabajo "Integral, Longuer, Aire", establece el concepto de medida de un conjunto como una fuerte generalización de "longitud de intervalo".
    Lo anterior, aunado a un nuevo concepto de función y la teoría de conjuntos, Lebesgue se sirve para crear su integral.