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Es durante estos años que Hamilton, Weirestrass, Meray, Cantor, Heine y Dedekin sustentan diferentes teorías, todas ellas enfocadas en los números irracionales con el objetivo de fundamentar los números reales.
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- Construcción de los racionales: Weirestrass
- Teoría de los enteros: Dedekin 3.Axiomatización de los naturales: Peano
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Cantor demuestra esta propiedad de los números reales y la enumerabilidad del conjunto de los números algebraicos, introduce el método de diagonalización.
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Cantor demuestra que los puntos de la recta real y los puntos del espacio n-dimensional (reales) n>1 son equipotentes
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Cantor demuestra la aritmética de ordinales, e intenta probar que existe una relación de buen piden entre los cardinales.
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Cantor, sumado a Dedekin consiguieron que la teoría de conjuntos fuera reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realizado en Zurich -
Cantor le plantea a Dedekind la imposibilidad de imposibilidad de considerar la evidencia de un conjunto universal, porque estaría forzado a contener dentro de sí a un conjunto de partes.
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Aparece publicada en The principles of Mathematics. La cual dice que: ∃ξ[(ξ∈ /ξ)↔(ξ∈ξ)], es decir Es decir que ξ es un elemento de ξ si y solo si ξ no es un elemento de ξ lo cual es absurdo. -
Un subconjunto de números naturales se llamará Richardiano si es un conjunto infinito, con complemento infinito, que puede ser descrito en un número finito de palabras de un lenguaje natural. -
La paradoja de Berry es la aparente contradicción que deriva de frases como éstas: "El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" -
La llamada escuela intuicionista tenía como ideal que todo teorema del análisis se pudiera escribir e interpretar en términos de relaciones entre naturales.
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Una de las escuelas que enfrentó el desafío que representó la aparición de estas paradojas, es la escuela logicista, creando la Teoría de tipos, clasificando a los conjuntos,
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La escuela formalista trabajó la geometría y la aritmética, intentando establecer aun sustento para el sistema numérico sin recurrir a la teoría de conjuntos, para demostrar luego su consistencia.