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El ser humano para poder comunicarse y compartir información, utiliza el medio oral, escrito o gráfico. El lenguaje gráfico es un medio de “comunicación visual” y este aparece hace 35000 años aproximadamente, con los primeros dibujos en las paredes de las cuevas. Desde entonces el ser humano a tenido la necesidad de describir objetos o de representar gráficamente su entorno.
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En el antiguo egipto (ubicandonos alrededor del 2500 a. C aprox.) se ven los primeros acercamientos a la geometría descriptiva. Además, esta cultura se caracteriza por sus construcciones arquitectónicas, como lo son las Pirámides de Giza o edificios. Ellos hacían uso de la geometría descriptiva “para conocer el número exacto de bloques necesario lo que podemos deducir de la observación del llamado papiro de Rhind”.
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Es de rescatar, que estas piedras fueron encontradas en otro momento, en Escocia. Pero datan del 2000 a.C.
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Problema 48 del papiro de Rhind. Su autor fue el egipcio Ahmes.
Consiste en hallar un cuadrado que tuviera la misma área que un círculo dado. Básicamente, el problema busca la determinación del valor exacto del número Pi.
Los egipcios obtuvieron que el valor del número Pi era de 3,1605. -
Plantean el problema de manera más rigurosa y precisa exigiendo su construcción únicamente con el uso de regla y compás
Personajes como Pitágoras, Aristóteles y Anaxágoras intentan resolver el problema sin mucho éxito. -
En la antigua Grecia inició el estudio más formal de los sólidos poliedros, en este año se fundó la escuela pitagórica por el filósofo Pitágoras de Samos, en donde se les dio especial estudio a estos.
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Demostró que el problema se podía reducir a encontrar dos medias proporcionales entre dos segmentos de líneas dadas de longitud s y 2s.
Observó que el volumen del cubo aumenta en progresión geométrica cada vez que se duplica el tamaño de la arista.
El valor de la arista para obtener un volumen igual al doble del inicial debe de encontrarse entre s y 2s.
Esto se llama reducción de Hipócrates, se trata en la simplificación del problema de la duplicación del cubo una media proporcional. -
Se despertó el interés de muchas otras personas fuera del círculo de matemáticos.
Matemáticos famosos como Antifon, Hipócrates de Chios, Hippias de Elis y Dinostrate se interesan en trabajar en esta polémica.
Antífanes plantea el siguiente razonamiento: se inscribe un cuadrado en un círculo y se bisectan los arcos que se forman inscribiendo octógonos y repitiendo este proceso, se consigue un polígono cuyos lados son tan pequeños que se podrá confundir con el círculo. -
Sostuvo que las rectas se componen por un infinito número de puntos, las superficies por una sucesión de líneas y los cuerpos sólidos por superficies
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No solamente utilizó polígonos inscritos en el círculo, sino que también lo circunscribió.
Declaró que el área del círculo es mayor que la de todos los polígonos inscritos y menor que la de los circunscritos, por lo cual, el área del círculo está comprendida entre dichos polígonos.
Declara que el valor del número Pi es 2,828. -
El problema se origina como consecuencia de una plaga en Grecia y la consulta al Oráculo de Apolo. Para erradicar la peste se debía duplicar el tamaño del altar de Apolo (un cubo).
Inicialmente se duplicó la medida de la arista del cubo original lo que aumentó el volumen del cubo ocho veces. -
Fue un filósofo griego que nació en Atenas, era de una familia aristocrática y su madre fue una discípula pitagórica.
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Esta cultura realizó grandes aportes a la geometría en general, Apolonio (262 a.C.-190 a.C.) fue el primero en calcular las áreas de figuras comunes y el estudio de formas cónicas, además Demócrito (460 a.C. - 370 a. C.) sostuvo que las rectas se componen por un infinito número de puntos, las superficies por una sucesión de líneas y los cuerpos sólidos por superficie. En esta época también resaltan los aportes de Euclides a las construcciones geométricas.
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Creó un instrumento mecánico para determinar dos medias proporcionales entre la medida de la arista del cubo original y un segmento que mida el doble de la arista.
Esta solución no cumplía con la condición de utilizar regla y compás, por lo que no era considerada válida para la época. -
Realiza una construcción en tres dimensiones para dar solución al problema
Basó su razonamiento en un triángulo rectángulo y estableció proporcionalidades entre segmentos que trazó dentro del triángulo, hasta que encontró que uno de esos segmentos iba a tener siempre la longitud de la arista del cubo de volumen doble.
Para probar esto intersecó tres superficies de revolución: un cono recto, un cilindro y un toro, los cuales construyó a partir del triángulo que tenía, obteniendo una figura en 3D. -
Por este año, Platón escribe un diálogo llamado “Timeo”, en el que presenta a un personaje llamado Timeo de Locri quien hace descubrimientos sobre el mundo. En dicho texto, se relacionan los cinco elementos con los cincos sólidos platónicos.
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En la búsqueda de la resolución de este problema descubrió las cónicas. Redujo el problema a la construcción de dos medias proporcionales entre 2 y 1.
Supo que lo que realmente estaba buscando eran la parábola y la hipérbola que presentaban las propiedades necesarias para resolver el problema, los dos valores buscados en realidad son el resultado de intersecar estas dos curvas. -
Tras la muerte de Sócrates (470 a.C - 399 a.C) Platón fue acogido por Euclides, pero en cuanto pudo, decidió volver a Atenas.
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Quien inició con el estudio formal de los sólidos platónicos fue en realidad, Euclides alrededor de este año, en su, ya famoso libro “Los elementos”. En el libro XIII, Euclides se propone construir estos poliedros inscribiéndolos en una esfera y también explicar por qué existen únicamente estos cinco.
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Construyó un artefacto constituido por un marco rectangular a lo largo del cual deslizan tres paralelogramos o los triángulos en los cuales se dividen los paralelogramos, estos se mueven siempre de forma que sus bases describen una trayectoria recta.
Mediante este artefacto se establece una serie de semejanzas entre triángulos a partir de la cual se puede determinar la longitud de las medias proporcionales buscadas (arista del cubo de volumen doble en relación con la arista original). -
- Fecha aproximada
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Nace en la ciudad de Perga (actualmente Turquía). Estudió las formas cónicas.
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Para realizar la demostración, se basa en la proposición X.1 del libro V de Los Elementos de Euclides.
Utilizando este método, encontró las áreas de polígonos inscritos y circunscritos de hasta 96 lados y demostró que el área del círculo está entre estos resultados, es decir, que el número Pi se encuentra entre los valores 3.142857 y 3.140845. -
Este personaje describió 13 poliedros semirregulares y convexos (conocidos como Sólidos de Arquímedes), pero sus obras se perdieron y, por ende, no quedó registro del año en que se publicaron sus conclusiones.
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A través de una curva conocida como cisoide el matemático Diocles dio solución al problema de la duplicación del cubo en el año 180 a.C.
Mediante el uso de otra curva conocida como conoide, el matemático griego Nicomedes resolvió el problema de encontrar las dos medias proporcionales. -
Nació en la ciudad de Bitinia, sin embargo, pasó la mayor parte de su vida en la Isla de Rodas. Fue un astrónomo y matemático griego cuyos aportes fueron utilizados por personajes posteriores como base para sus descubrimientos. Los datos que se conocen sobre su vida se deben principalmente a escritos de astrónomos posteriores. Actualmente se le conoce como "el padre de la Trigonometría".
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En su obra Las Cónicas demostró que de un cono único pueden obtenerse tres tipos de secciones (elipse, parábola e hipérbola), variando la inclinación del plano que corta al cono. Además, consideró el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola.
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Algunos de sus principales aportes a la Matemática fueron:
1. Se cree que se basó en diferentes construcciones geométricas para realizar los descubrimientos astronómicos.
2. Elaboró una tabla de cuerdas de una circunferencia con los acordes de los ángulos, la cual es precursora de la tabla trigonométrica.
3. Escribió doce libros sobre cálculo de cuerdas en un círculo.
4. Introdujo a Grecia la división del círculo en 360 grados. -
Fue un astrónomo, astrólogo, químico, geógrafo y matemático griego. Se cree que nació en Ptolemaida Hermia y que era originario de alguno de los pueblos egipcios que recibieron su nombre luego de los Reyes Ptolemaicos. En general, los datos sobre su vida son escasos y no se sabe con certeza su lugar y fecha de nacimiento, así como de su muerte. Además, vivía ya en una época en la que la cultura clásica griega se encontraba en decadencia.
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Algunos de sus principales aportes fueron:
1. Realizó el Almagesto.
2. Realizó una tabla de cuerdas útil para la resolución de triángulos en cálculos astronómicos.
3. Realizó la siguiente aproximación: pi = 3+17/20.
4. Desarrolló el teorema de Ptolomeo. -
En su libro V, Papo de Alejandría menciona los 13 sólidos de Arquímedes, atribuyéndole a este los hallazgos en cuando a poliedros.
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Se presentan las ideas acerca de las proyecciones ortogonales y representaciones en planos horizontales y verticales.
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Intentó restablecer la identidad del número, afirmando que este era un número aproximado y no exacto como pretendían los cuadraturistas. Su papel fue indispensable para dar a conocer este problema en Europa, ya que compartió las aproximaciones establecidas por Arquímedes y Aryabatha.
Realizó su propia aproximación del número Pi con tres decimales exactos: 3.14181818… -
Villardde Honnecour (1200-1250 d. C) representó en su cuaderno objetos dispuestos en planos diferentes... lo cual permitió resolver problemas de corte de piedras, siendo esto una de las ideas fundamentales para el desarrollo de los sistemas de representación.
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Publica su libro "Practica Aritmeticae" en donde afirma que la cuadratura con regla y compás es imposible.
Respalda lo afirmado por Fibonacci cien años atrás al explicar que el valor de Pi no era exacto sino aproximado. -
El hindú Nikalakanta estableció que el valor de Pi era 3.1415926539, exacto hasta la undécima cifra.
El árabe Djemsid Ibnasud Al-Kasi halló que el valor de Pi era igual a 3,141159226535897932, con 17 decimales exactos.
Lamentablemente, para ninguna de las aproximaciones anteriores se conocen los métodos utilizados para su cálculo. -
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Obtiene 15 cifras correctas para el número Pi utilizando un polígono de 1 073 741 824 lados.
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Esta obra es importante porque, a parte de ser su primera publicación, presentaba la primera demostración amplia y convincente de las ventajas geométricas de la teoría copernicana.
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Obtiene 20 cifras correctas para el número Pi.
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Durante el periodo del renacimiento es cuando se le da un fundamento a la rama de la geometría descriptiva mediante los trabajos de los pintores de esta época como Leonardo Da Vinci (1452-1519), quien mencionaba que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática le permitía hacerlo, Piero della Francesca (1410-1492), Estableció los principios de la perspectiva en su obra “De prospectiva pingendi”, y a Albrecht Dürer (Alberto Durero) (1471-1528).
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Se utilizaba la doble proyección en distintos ámbitos como en la resolución de problemas de lenguaje arquitectónico clásico, para la labra de piedras por escuadría, se practican giros para conocer los ángulos que forman entre sí las aristas de las dovelas, se realizan cambios de plano para construir las testas oblicuas o inclinadas de los arcos, entre otros.
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El francés Viète obtuvo una fórmula en la que relaciona el área de un 2n-ágono regular con la de un n-ágono regular y aplicando el método de Arquímedes logró dar un valor del número Pi con nueve cifras exactas al considerar un polígono de 393216 lados.
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Grandes matemáticos como Descartes, Fermat, de Sluze, Viviani y Newton trabajaron en el problema de la duplicación del cubo.
Descartes no se limitó a encontrar dos medias proporcionales como lo habían establecido en la antigua Grecia, sino que llegó a considerar hasta cuatro.
Fermat consideró clases involucrando n medidas proporcionales.
Viviani consiguió la solución con ayuda de una hipérbola de segundo orden. -
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Obtiene un aproximado del número Pi con 35 cifras correctas utilizando un polígono de 4 611 686 018 427 387 904 lados (potencia de dos a la 62).
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Girard Desargues (1591-1661) acentuó matemáticamente los métodos de la perspectiva que fueron desarrollados por los artistas en el renacimiento, por otra parte, en 1639 efectuó la publicación de “Brouillon Project” que poseía conceptos e ideas que hoy en día forman parte de la geometría proyectiva
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Tras esta publicación, Descartes logró establecer la relación entre la geometría y las operaciones del álgebra, desarrollando una nueva disciplina: La Geometría Analítica.
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Blaise Pascal (1623-1662) matemático francés, quien fue uno de los fundadores del cálculo y que además, su trabajo ocupa una página en el desarrollo de la geometría proyectiva, siendo el creador del teorema que lleva su nombre el “Teorema de Pascal” cuyo atractivo y belleza lo convierten en un teorema importante en la matemática.
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En él se demuestran muchos teoremas que se consideraron necesarios para poder demostrar la cuadratura del círculo.
Incluye también la propia demostración de la cuadratura, ya que Saint Vincent se encontraba convencido de que era posible realizarla mediante regla y compás.
Esta obra fue de gran renombre en la comunidad científica, excepto por dicha demostración, la cual desató gran polémica entre los matemáticos. -
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Leibniz escribe una carta a Hyugens en la cual expresa: “el círculo es respecto del cuadrado circunscrito, como la serie infinita de fracciones: 1-1/3+1/5-1/7+... es respecto a la unidad.”
Esta serie tiene una convergencia muy lenta, pues se requieren 1000 sumandos para apenas poder obtener cuatro decimales exactos del número Pi. -
Philippe de la Hire (1640-1718) matemático francés, que trabajó en la geometría proyectiva en su obra “Secciones Conicae” (1685) donde se muestran métodos mayoritariamente proyectivos. En esta obra se encuentran probadas de manera sistemática las propiedades de las cónicas, utilizando métodos e ideas de desargues.
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Se desarrollaron nuevas técnicas de cálculo diferencial y el uso de series de potencias que provocaron un cambio en la estrategia para la búsqueda de mejores estimaciones del valor de Pi.
Kepler y Cavaleri son los primeros matemáticos que calcularon la relación entre longitud de la circunferencia y su diámetro con ayuda de una serie, cuya suma representa la longitud de un arco de círculo.
La determinación del valor de Pi pasó de ser un problema geométrico a uno aritmético. -
Mediante el estudio de un arco de círculo con tangente trigonométrica aplicó la relación Pi/4=4*arctan*1/5-arctan*1/239 con la cual logró obtener 100 decimales exactos para Pi.
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Este matemático propuso varios métodos de los cuales se inclinó por uno en el cual hizo uso de la limaçon de Pascal (caracol de Pascal).
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El matemático alemán J.H. Lambert probó que Pi es un número irracional, lo que significa que no puede escribirse como el cociente de dos números enteros.
Esto asegura que la búsqueda de los decimales de este número es una tarea inacabable.
Este gran aporte no pone fin al problema de la cuadratura del círculo pues muchos números irracionales se pueden construir utilizando regla y compás. -
Gaspard Monge (1743-1818) Matemático francés, considerado el padre de la geometría proyectiva, cuya meta era la de evidenciar que los métodos y técnicas geométricas podían igualar o superar a los propiamente algebraicos y analíticos. Realizó grandes trabajos en cómo el desarrollo de métodos de representación de objetos tridimensionales mediante su proyección entre dos planos, además de contar con varios estudiantes los cuales utilizarían posteriormente sus conocimientos y enseñanzas.
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Euler logró calcular con exactitud 20 decimales del número Pi a través de la fórmula Pi/4=5*arctan 1/7+8*arctan 3/79.
A Euler se le atribuye la notación del número Pi para representar la razón existente entre la circunferencia y su diámetro. -
Jean Poncelet (1788-1867) matemático francés y estudiante de Gaspard. Durante su estadía en una cárcel de rusia reconstruye lo aprendido por Carnot y Monge dando el gran aporte del “Principio de Dualidad” el cual Adell (2005) menciona que “todo enunciado de geometría proyectiva plana permanece válido si se sustituyen los puntos por rectas, las rectas por puntos, la concurrencia de rectas por la colineación de puntos, etc. y viceversa” (p. 4)
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Pierre-Laurent Wantzel demuestra la imposibilidad de resolver el problema con regla y compás.
Demostró el teorema: Todo número construible x debe ser raíz de un polinomio con coeficientes enteros, tal que, el mínimo grado de un polinomio que admite a x como raíz, es una potencia de dos.
Significa que un problema puede ser resuelto con regla y compás, sii la incógnita puede ser expresada en función de los datos mediante una expresión algebraica racional o irracional cuadrática. -
Jakob Steiner (1796-1863) matemático suizo, aportó en el desarrollo de la geometría en su publicación “Systematische Entwickelungen” en donde se muestran las formas geométricas y su correlación con sus generalizaciones y demostraciones, ocasionado así una nueva generación de secciones cónicas y superficies cuadráticas de rotación.
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August Mobius (1790-1868) quien era matemático y astrónomo alemán, introdujo las coordenadas homogéneas en la geometría proyectiva.
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Los poliedros duales son nuevos cuerpos, basados en antigüos, en los cuales las caras y vértices corresponden respectivamente a vértices y caras del original.
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Ferdinand Lindemann brinda una solución final al demostrar que el número Pi no satisface ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros, es decir, probó que Pi es un número trascendente.
