-
El teorema de Tales. Invenció de la demostració matemàtica rigorosa. Les primeres demostracions de teoremes geomètrics mitjançant raonament lògic. -
Les taules de multiplicar, l'existència dels nombres racionals, el teorema de Pitàgores -
Euclides feia demostracions de teoremes i també va introduir les nocions d'MCD (màxim comú divisor) i les restes successives, també denominades «divisió euclidiana». -
Va resoldre els primers problemes relatius (càlcul integral). En particular, va trobar el centre de gravetat d'un paral·lelogram, un triangle i un trapezi; i d'un segment de paràbola. Va calcular l'àrea d'un segment de paràbola, tallat per una corda. -
Va treballar en equacions algebraiques i seccions còniques, va inventar l'astrolabi per a la navegació, i aparells per a mesurar densitat de fluids. -
Un dels seus principals assoliments en el camp de l'àlgebra va ser la seva demostració de com resoldre equacions quadràtiques amb el mètode de completació de quadrats, justificant-lo geomètricament. També va treballar en el camp de la trigonometria. -
Va obtenir el reconeixement a nivell mundial pel seu estudi i labor de difusió a Occident de les matemàtiques indo-aràbigues, així com per la seva famosa «Successió de Fibonacci«, una sèrie de nombres naturals que comença sumant 1+1 i al resultat se li suma el número anterior: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8 i així fins a l'infinit. -
La més coneguda aportació és el mètode de resolució de les equacions cúbiques. En els estudis de balística va descobrir nous mètodes i instruments entre els quals es troben les "Taules del foc", sobre les trajectòries de projectils. -
Va ser el primer a demostrar les relacions entre les línies rectes i les corbes i les equacions matemàtiques. Així, va néixer la geometria analítica. -
Va descobrir el càlcul diferencial abans que Newton, va aportar la teoria de les probabilitats al costat de Pascal i va fer importants avanços en el camp de la geometria analítica, però sobretot va deixar el seu mundialment conegut ' últim teorema de Fermat'. -
Va inventar la primera màquina digital de calcular. Va demostrar l'existència del buit. Va observar que la pressió atmosfèrica disminueix amb l'altura. És, juntament amb Fermat, el fundador de la teoria de la probabilitat. -
Desenvolupament del càlcul integral i diferencial, que va utilitzar per a formular les seves lleis de la física i astronomia. També va contribuir en altres àrees de les matemàtiques, desenvolupant el teorema del binomi i les fórmules de Newton-Cotes. -
Va estudiar teoria d'errors i va deduir la corba normal de probabilitat, avui en dia és coneguda com la corba de Gauss. -
Va escriure l'algorisme per a calcular els valors dels números de Bernoulli utilitzant dos bucles, va detallar com fer operacions trigonomètriques. -
Va ser inventor amb Dedekind de la teoria de conjunts, que és la base de les matemàtiques modernes. Gràcies a les seves recerques sobre els conjunts infinits va ser el primer capaç de formalitzar la noció d'infinit sota la forma dels números transfinits (cardinals i ordinals). -
La teoria d'invariants, la axiomatizació de la geometria i la noció d'espai de Hilbert, un dels fonaments de l'anàlisi funcional. -
Va investigar en el terreny de la geometria algebraica sintètica, i geometria projectiva superior. Va treballar sobre història de la matemàtica, geometria sintètica real i complexa, representació conforme, teoria de Galois i mètodes numèrics. -
Va ser l'encarregat de pronunciar la conferència inaugural, “El paper del concret en la Matemàtica”, en la qual va propugnar la necessitat d'articular els conceptes matemàtics abstractes amb el món de les percepcions sensibles de l'alumne. -
Va dissenyar els processos i les màquines que van permetre, gràcies a la seva capacitat d'efectuar càlculs combinatoris molt més ràpid que qualsevol ésser humà -
La seva obra "Curso de geometria métrica" (1947) va ser un dels elementals en l'ensenyament d'enginyeria a l'Estat Espanyol a la segona meitat del segle xx. El 1926 va obtenir la càtedra de matemàtiques de l'Institut San Isidro de Madrid. Va treballar amb Julio Rey Pastor en l'elaboració de textos per al Batxillerat.