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El método de Robelval y Torricelli para las tangentes.
En 1630 Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método para calcular tangentes por medio de consideraciones cinemáticas. Este método se apoya en dos ideas básicas: la primera es la de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneamente, y la segunda es la de considerar la tangente en un punto de la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto. -
Cuadratura de la cicloide por Robeval.
En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer la cuadratura de la cicloide. Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente el
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval
En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer la cuadratura de la cicloide. Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente el
método de los indivisibles de Cavalieri. -
Los indivisibles de Cavalieri
El método de integración geométrica que se consideraba ideal durante la primera mitad del siglo XVII era el método de exhausción que había sido inventado por Eudoxo y perfeccionado por Arquímedes. El nombre es desafortunado porque la idea central del método es la de evitar el -
El método de máximos y mínimos de Fermat
En 1637 Fermat escribió una memoria titulada Methodus ad disquirendam maximan et minimam ( Método para la investigación de máximos y mínimos ). En ella se establecía el primer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos. Fermat se expresa como sigue. -
El método de las tangentes por Fermat
Cálculo de tangentes y de valores extremos
Fermat, determina la subtangente a una parábola haciendo uso de su método para máximos y mínimos. -
Parábolas e Hipérbolas de Fermat.
La cuadratura de las curvas de nidas por y = xn donde n es un número natural o bien un entero negativo n ̸= −1, había sido realizada para n = 1, 2 . . . , 9 por Cavalieri, aunque podemos remontarnos hasta Arquímedes que había resuelto geométricamente los casos correspondientes a n = 1, 2, 3. Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas por arcos de hipérbolas generalizadas xnym = 1 (m, n ∈ N). -
El Nacimiento del Cálculo: Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz
ISAAC NEWTON.
• Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Reino Unido).
• Murió el 31 de marzo de 1727 en Londres (Reino Unido). -
El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz.
Gottfried Wilhelm von Leibniz.
• Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig (ahora Alemania).
• Murió el 14 de noviembre de 1716 en Hannover, (Alemania) -
La integración Aritmética de Wallis
John Wallis publicó en 1655 un tratado Arithmetica in nitorum (La Aritmética de los infinitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Para ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva y = xk (k = 1, 2, . . . ) y sobre el segmento [0, a]. Siguiendo a Cavalieri, Wallis considera la región PQR formada por un número in nito de líneas verticales paralelas, cada una de ellas con longitud igual a xk. -
Los inventores del Cálculo.
En el último tercio del siglo XVII, Newton (en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675) inventaron el Cálculo (de forma independiente):
• Uni caron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.
• Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier signi cado geométrico. -
Teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas dé Newton
A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas. A nales de ese mismo año, el método de uxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de uxiones y la relación entre cuadraturas y uxiones. En esos dos años también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. Newton tenía 24 años -
Newton y el cálculo de flexiones.
Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo in nitesimal datan de los llamados Anni Mirabiles 1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en la que Newton se había graduado como bachelor of arts en 1664, estuvo cerrada por la peste esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconoció cincuenta años después, ése fue el período más creativo de su vida. -
La obra de Newton "Analysi per aequationes numero terminorum in nitas"
Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes numero terminorum in nitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puede considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos in nitesimales de manera similar a como hacía el propio Barrow. -
El triángulo diferencial de Barrow
Isaac Barrow (1630 - 1677) también dio un método para calcular tangentes. Barrow era un admirador de los geómetras antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de Arquímedes, a la vez que publicaba sus propias obras Lectiones Opticae (1669) y Lectiones Geometricae (1670)
en la edición de las cuales colaboró Newton. El tratado Lectiones Geometricae se considera una
de las principales aportaciones al Cálculo. -
Newton escribe su libro "Methodus uxionum et serierum in nitorum"
Una segunda presentación del Cálculo es la que realiza Newton en el libro Methodus uxionum et serierum in nitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736. Newton considera cantidades variables que van uyendo con el tiempo, a las que llama uentes. Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las uentes, a las que llama uxiones, que son las derivadas respecto al tiempo de las uentes. -
Leibniz descubre el Cálculo.
Las investigaciones de Leibniz sobre la integración y el origen de sus notaciones para la integral y los diferenciales, pueden seguirse con todo detalle en una serie de manuscritos del 25 de octubre al 11 de noviembre de 1675. En 1676 Leibniz ya había obtenido prácticamente todos los resultados descubiertos por Newton un poco antes. -
La invención del calculus summatorius por Leibniz
Principales ideas que guiaron a Leibniz en la invención del Cálculo:
• La creación de un simbolismo matemático que automatizara los cálculos y permitiera formular fácilmente procesos algorítmicos.
• La apreciación de que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que el proceso de formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión inicial, es decir, que se trata de operaciones inversas una de la otra. -
Liebniz "Nova methodus pro maximis et minimis"
La primera publicación sobre cálculo diferencial fue el artículo de Leibniz Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractals nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, que fue publicado en Acta Eruditorum hace ya más de tres siglos, en 1684. En este trabajo, Leibniz de nía el diferencial dy de forma que evitaba el uso de las sospechosas cantidades in nitesimales. -
Newton nunca publicó su teorema binomial hasta que...
Newton nunca publicó su teorema binomial, ni dio una demostración general del mismo. La primera vez que apareció en un texto impreso fue en 1685 en un libro de Wallis (que reconoce la autoría de Newton), titulado Treatise of Algebra. Newton mismo, en una carta a Henry Oldenburg, el secretario de la Royal Society, conocida como la Epistola Prior (junio de 1676), -
Johann Beenoulli que sugiere llamar Cálculo integral al cálculo de cuadraturas.
Para Leibniz una integral es una suma de in nitos rectángulos in nitesimales, el símbolo que ideó para representarlas, tiene forma de una s alargada como las que en aquel tiempo se usaban en la imprenta; además, es la primera letra de la palabra latina summa, o sea, suma . Fue Johann Bernoulli quien, en 1690, sugirió llamar calculus integralis al cálculo de cuadraturas, de donde deriva el término integral que usamos actualmente. -
Desarrollo posterior del Cálculo.
Los hermanos Jakob y Johann Bernouilli, matemáticos y profesores de la universidad de Basilea, estudiaron los trabajos de Leibniz con quien iniciaron una productiva correspondencia. A partir de 1690 publicaron una serie de trabajos en el Acta Eruditorum y en otras revistas, poniendo de mani esto que el cálculo de Leibniz era una herramienta poderosa con la que había que contar. -
Newton publica su obra "En De Quadratura Curvarum"
En De Quadratura Curvarum, escrita en 1676 y publicada en 1704, Newton propone fundamentar su cálculo de uxiones en lo que llama razones primera y última de incrementos evanescentes. De esa forma se re ere Newton a los cocientes de los incrementos in nitesimales de las cantidades variables, y su objetivo es determinarlos en el momento en que dichas cantidades nacen desde cero ( razón primera ) o se anulan ( razón última ) -
Series de Taylor (desarrollo posterior del cálculo)
El descubrimiento en 1715 por Brook Taylor de las llamadas series de Taylor, que se convirtieron en una herramienta básica para el desarrollo del cálculo y la resolución de ecuaciones diferenciales. -
Muerte de Liebniz
Reconocido hoy día como un genio universal, Leibniz vivió sus últimos años en Hannover en un aislamiento cada vez mayor y murió el 14 de noviembre de 1716. A su entierro solamente asistió su secretario -
Muerte de Newton
Murió el 31 de marzo de 1727 en Londres. -
Contenido extra.
Este es el link de un video que habla sobre ¿Que es el cálculo? Y otras cosas.
https://youtu.be/U5aW5aR0qbU -
