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Fueron los primeros en utilizar el sistema de eliminación Gaussiana, tiene escritos donde resuelven problemas de 4 sistemas de ecuaciones con 4 incógnitas
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Eran capaces de resolver sistemas de ecuaciones de 2 incógnitas
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En su obra Ars Magna presenta su método "regula modo" para resolver ecuaciones con dos incógnitas
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Desarrolló lo que se conoce como método para resolver problemas difíciles donde muestra sistemas de ecuaciones algebraicas y determinantes
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En su obra "Elementos de las curvas" presenta su cambio de ejes en cónicas para obtener una ecuación reducida
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En una carta a L´Hopital presenta un problema para encontrar rectas tangentes y normal a una curva en un punto utilizando sistemas de ecuaciones
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En su obra "Tratado de álgebra" presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones de incógnitas con n <= 4
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Introducción al estudio de las curvas algebraicas, considerada la primera publicación sobre determinantes en Europa
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Discusión sobre sistemas de ecuaciones, regla de Laplace (desarrollo de determinantes por una fila o columna)
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Presenta la definición de vector propio, "Cuando una esfera se mueve alrededor de su centro, siempre se puede encontrar un diámetro cuya dirección tras el movimiento es la misma que la posición inicial"
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En su obra Disquisitiones Arithmeticas presentó coeficientes de forma cuadrática en disposición rectangular, multiplicación de matrices y matrices inversas
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Acuña determinantes, diagonalización de forma cuadrática
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Cálculo baricéntrico sobre geometría analítica y proyectiva.
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Escribe un trabajo en 3 tratados sobre la teoría de determinantes
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Su obra maestra Ausdehrungslehre (Teoría de la extensión) se refiere a la parte lineal de los problemas, fue una teoría abstracta sobre problemas algebraicos de n dimensiones.
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Produce la teoría de los cuaterniones que era un sistema de números complejos que satisface todas las propiedades de la aritmética ordinaria a excepción de la propiedad conmutativa de la multiplicación
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Memoría sobre la teoría de matrices se establece el teorema de Cayley-Hamilton
