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El álgebra tuvo sus primeros avances en la antigua Mesopotamia y babilonia. Con el fin de resolver ecuaciones de primer y segundo grado ya utilizadas en la época. Por el contrario, los egipcios resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos.
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En Egipto el álgebra comienza a ser utilizado para resolver problemas de ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas con incógnita y cualquier sistema de ecuaciones. Todo esto para resolver problemas cotidianos. Al final el álgebra termina complementando la geometría egipcia.
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El álgebra se expande de Egipto a Grecia. Ahí Euclides de Alejandría trata de unir toda información matemática existente hasta la época y junto con sus investigaciones escribe el libro matemático “Los elementos”. Libro que está construido a partir de otros trece libros donde se postulan varios razonamientos de la aritmética, la geometría y el álgebra; siendo Herón de Alejandría junto con Nicómaco de Gerasa los máximos exponentes del algebra en la época.
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Diofanto de Alejandría, un estudioso matemático escribe su libro “Las aritméticas”. Esta obra consta de trece volúmenes donde trata por primera vez de forma rigurosa ecuaciones de primer y segundo grado, además proporciono las bases para la llamada “teoría de ecuaciones”; introduciendo el símbolo algebraico de la incógnita. En esta obra también se dan soluciones a diversas ecuaciones populares en la época.
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Los islámicos comienza a usar el álgebra como herramienta para la resolución de problemas, volviendo se popular en su cultura, de igual manera los hindú desarrolla las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos; desarrollando el sistema de numeración decimal que posteriormente es difundido por los árabes en el occidente.
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El astrónomo y geógrafo árabe Al-Juarismi escribe un libro de algebra donde presenta su teorema fundamental de las ecuaciones, haciendo su demostración atreves de los conocimientos del algebra hasta la época; siendo la primera persona en llamar estos procedimientos “álgebra” (al-jabra) y describiéndola como la ciencia de la reducción y el equilibrio. Después el matemático árabe Abu Kamil enuncia y demuestra las identidades del algebra.
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Omar Jayam un poeta y astrónomo persa. Escribe su famoso trabajo de algebra “Tratado sobre demostraciones de problemas de algebra”, que contiene una completa clasificación de ecuaciones cúbicas resueltas geométricamente, mediante la intersección de secciones cónicas.
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Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci consigue encontrar una solución a las ecuaciones cúbicas por el método arábigo de aproximaciones sucesivas, publicando dicho resultado en su obra “Liber Abaci”; en donde también introduce el sistema numérico arábigo, basado en el sistema numérico hindú, que cambiaría profundamente la forma de pensar en el antiguo continente, por la existencia de un valor nulo “0” en dicho sistema numérico arábigo.
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El matemático Nicolás Chuqet introduce a Europa occidental los números negativos junto con una notación exponencial que utiliza exponente negativos y positivos. Por otro lado, el matemático Johannes Widmann utiliza por primera vez los símbolos “+” y “- “. Luego, el astrólogo Gerolamo Cardano publica su obra “Ars Magna” donde postula diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, estableciendo un notable cambio del algebra literal al algebra simbólico.
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Se publica la obra “L`Algebra” del ingeniero Rafael Bombelli, donde introduce por primera vez conceptos relacionados a los números imaginarios. Después el matemático François Viète promovió que la matemática era una ciencia puramente simbólica siendo él, el primero en representar incógnitas puramente simbólicas y utilizando símbolos para representar operaciones; creando así la notación actual de las fracciones.
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El filósofo y físico Rene Descartes fusiona la geometría y el álgebra, permitiendo que formas geométricas sean expresadas a través de ecuaciones algebraicas; de tal manera que crea la geometría analítica. Luego, crea el sistema de coordenadas cartesiana y también introduce una nueva notación exponencial, que es la que se utiliza hoy en día.
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Carl Friedrich Gauss astrónomo, físico y geodesta. Considerado como el genio matemático más importante hasta la época, con el sobre nombre de “el príncipe de las matemáticas”. Demuestra de una manera muy rigurosa el teorema fundamental del algebra, definiendo así un nuevo campo de estudio “la teoría de números”.
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Un matemático que fallece a temprana edad “Evariste Galois”, determina la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, imponiendo así el “álgebra abstracta”. Más tarde el matemático Agustín Louis Cauchy, investiga un nuevo tipo de ecuaciones que luego las llama “ecuaciones diferenciales”.
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El matemático George Boole, utiliza una serie de conceptos lógicos en el álgebra para lograr que las ecuaciones algebraicas sean más fáciles, creando así el “álgebra lógica” o “algebra booleana”. Por otro lado, el matemático Hermana Grassmann fundamenta el concepto de vector y lo estudia mediante ecuaciones, creando así el “álgebra vectorial” que más tarde lo consolidara como “algebra lineal”.
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Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas que aún no se han podido formalizar. El álgebra abstracta se establece como tema algebraico de principal investigación y su estudio ha fundamentado de forma rigurosa otras áreas independientes de las nociones geométricas o aritméticas nuca antes conocidas.