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Identifica los números racionales con números decimales periódicos
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Publica sus primeros trabajos sobre irracionales
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Teoría de Irracionales (clases de racionales)
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Define los irracionales en base a los racionales
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Teoría de Irracionales construidos a partir de sucesiones de racionales
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Teoría de las cortaduras de los racionales
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Para construir cualquier número dentro de una clase de números trascendentes
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Demuestra la no enumerabilidad de los números reales y la enumerablidad del conjunto de los números algebraicos y de los números racionales, aclarando la existencia del infinito real. Introduce el método de diagonalización.
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Demuestra que los puntos de la recta real y los puntos del espacio n-dimensional son equipotentes.
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Demostró la trascendencia de "e"
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Prueba de la trascendencia de π
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Desde 1878 escribe una serie de artículos atacando los problemas de equipotencia, conjuntos ordenados, la medida de un conjunto, ordinales y cardinales, etc.
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Demostró que el número irracional tiene una representación decimal no periódica
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Publicación de su Teoría de los Enteros
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Axiomatización de los números naturales
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Construcción de los racionales a partir de los enteros
(algunas de sus aportaciones fueron publicadas antes de morir, no coincide con la fecha en la que él las compartió en sus cátedras) -
Demostración de las propiedades de los naturales y el Principio de Inducción Matemática
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La colección de todos los ordinales no puede ser tratada como un conjunto, pues sería un ordinal que debería ser isomorfo, con un segmento propio, lo cual es contradictorio.
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Su Teoría de Conjuntos que desarrolló entre 1895 y 1897 es reconocida por el Congreso Internacional de Matemáticas
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Sí la colección de los números cardinales era realmente un conjunto, su cardinal sería mayor que cualquier otro, generando una contradicción
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La imposibilidad de considerar la existencia de un conjunto universal, (aquel que contiene a todos los demás) porque estaría forzado a contener dentro de sí, a su conjunto de partes.
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Si se considera M = {x: x /no pertenece a x} o sea la colección formada por todos los elementos que no se pertenecen a sí mismos; M ∈ M ⇐⇒ M /no pertenece a M.
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Un subconjunto de números naturales se llamará richardiano si es un conjunto infinito, con complemento infinito, que puede ser descrito en un número finito de palabras de un lenguaje natural dado
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Si hay algunos ordinales que no son definibles en un número finito de palabras, hay uno que debe ser el mínimo que no es definible en un número finito de palabras.