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John Wallis identifico los números racionales con los números decimales periódicos -
Fueron presentados, por Hamilton, los primeros trabajos sobre irracionales
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Fue hasta este año que se publican los trabajos de Hamilton sobre irracionales.
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Weierstrass ofrece su propia teoría de irracionales sustentada en clases de racionales
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Meray define a los irracionales basada en racionales -
Georg Cantor presenta su teoría de irracionales -
Eduard Heine y Richard Dedekind presentan su teoría de cortaduras de racionales. -
- Se publica método de Liuville para construir cualquier número dentro de una clase de números trascendentes.
- Demostración de Hermite sobre la trascendencia del numero de Euler.
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En 1873 al estudiar los problemas de equipotencia, Cantor
plantea la no enumerabilidad de los reales, pero es en 1874 cuando en un memorable artículo demuestra la enumerabilidad de los racionales, la no enumerabilidad de los reales y la enumerabilidad del conjunto de los números algebraicos, esto es de los números reales que son soluciones de ecuaciones, introduce el método de diagonalización y pone sobre el tapete la presencia del hasta entonces inaceptable infinito actual o real. -
Cantor continua su trabajo y escribe una
serie inigualable de artículos en los Mathematishe Annalen atacando los problemas de equipotencia, de los conjuntos totalmente ordenados, de las propiedades topológicas de R y R^n, de la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales. -
Se publica la prueba de Lindermann de la trascendencia del número pi. -
Otto Stolz muestra que cada numero irracional tiene una representación decimal no periódica. -
Teoría de los enteros presentada por Dedekind en
su famosa obra "Was sind und was sollen die Zahlen", que recogía sus trabajos desde 1872 hasta 1878 -
Axiomatización de los números naturales propuesta por Peano en en su obra Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita -
Cantor encuentra que la colección de todos los ordinales, que es una colección bien ordenada, no podía ser tratada
como un conjunto, pues sería de hecho un ordinal y por tanto
debería ser isomorfa con un segmento propio, lo cual es contradictorio. -
Cantor desarrolla la teoría de los conjuntos totalmente ordenados, la aritmética de ordinales, demuestra que m < 2^m e intenta probar que existe una relación de buen orden entre los cardinales. Consigue este resultado con ayuda de Berstein y de Zermelo.
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Grassmann empieza a dar respuesta a la interrogante ¿Existe un modo no intuitivo de definir las operaciones entre naturales?, demostrando las propiedades básicas de los naturales a partir de la operación x --> x+1 y el principio de inducción matemática. -
Berstein prueba que si "a" es menor o igual que "b" y "b" es menor o igual a "a" entonces "a" es aproximadamente igual a "b" -
Cantor se interrogaba, en carta dirigida a Dedekind, sí la colección de los números cardinales era realmente un conjunto, pues argumentaba que en caso de serlo, su cardinal sería mayor que cualquier otro, generando de nuevo una contradicción que desde entonces se conoce como la Paradoja de Cantor.
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Cantor le planteó a Dedekind, en carta, la imposibilidad de considerar la existencia de un conjunto universal, entendido como aquel que contiene a todos los demás, porque estaría forzado a contener dentro de sí a su conjunto de partes, lo cual a todas luces resultaba imposible.
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La paradoja de Russell apareció publicada en The Principles
of Mathematics en 1903 y retomaba, en términos conjuntistas,
la famosa paradoja de Epiménides. Russell consideró la colección M = {x : x /∈ x} o sea la colección formada por todos los
elementos que no se pertenecen a si mismos y se preguntó si
M ∈ M. -
Ernst Zermelo estableció el Principio de Buena Ordenación ya intuído por Cantor. -
En 1905 Richard, en carta dirigida al editor de la Revue
Générale des Sciences Pures et Appliquées, planteó la contradicción que hoy lleva su nombre. En apariencia Richard parece haber desarrollado su paradoja a partir de algunas notas presentadas por Hadamard en el Congreso de Heidelberg de 1904, alrededor de las inconsistencias de Zermelo-König sobre la posibilidad de bien ordenar el continuo y de Cantor-Burali-Forti sobre las nociones de conjuntos bien ordenados. -
Publicada por Russell en 1906 “Algunos ordinales son definibles en un número finito de palabras. Supongamos que existe algún ordinal que no se puede definir así. Los ordinales menores que este particular forman una serie bien ordenada. Por lo tanto, si entre ellos hay algunos que no son definibles en un número finito de palabras, hay uno que debe ser el mínimo que no es definible en un número finito de palabras. Pero esto es absurdo, pues acabo de definirlo en veintitrés palabras”
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Russell y Whitehead desarrollaron una obra monumental: la Principia Mathematica, en la cual expusieron su filosofía y sus resultados. Para ellos se partiría del desarrollo de la Lógica y de ahi se seguiría a la Matemática sin necesidad de explicitar axiomas puramente matemáticos. El desarrollo de la Lógica consistiría en establecer para ella un sistema de axiomas del cual se deducirían los teoremas para ser usados en razonamientos posteriores.
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Para ello Hilbert y algunos de sus alumnos más aventajados, entre ellos Ackermann, Bernays y Von Neumann, desarrollaron la
Teoría de la Demostración, desde la que pretendían procedimientos y construcciones finitistas, demostrar la consistencia de toda la Matemática y dado que buena parte de la Matemática Clásica puede reducirse a la Aritmética de Peano, la demostración de su consistencia pasó a ser el problema más importante del formalismo.