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Period: 630 BCE to
Analisis
Desarrollo historico del tema En cuanto al desarrollo histórico del tema, el concepto limite se divide en 3 etapas, que su diferencia se encuentra en la concepción del límite. Durante su larga evolución se ha observado claramente la necesidad de hacer formal y explicito la noción en parte para validar algunos resultados ya obtenidos etapa 1: Periodo clásico
etapa 2: Revolución científica
Etapa 3: Paso a la fundamentación del análisis infinitesimal -
500 BCE
Etapa 1: Periodo clásico (Eudoxo de Cnido y Arquímedes (S. V A. C))
En esta etapa se observa que la idea de la intuición sobresale en el proceso del paso al límite. Se basa en la noción de infinito potencial, dentro de los métodos que se usaron el que destaco fue: Método de exhaucion: se le atribuye a Eudoxo a pesar de que la utilización más conocida fue la de Arquímedes. Su método fue aplicado al cálculo de áreas, figuras, volúmenes, longitudes, etc. -
Period: 1500 to
Etapa 2: Revolución científica (Desde Kepler (S. XVI) hasta Newton y Leibniz (S. XVIII))
La etapa se caracteriza por utilizar métodos matemáticos para dar solución a problemas físicos, a pesar de que se vio una falta de cuidado en cuanto a la formalización de los conceptos matemáticos y procedimientos respectivos. Algunos de los problemas físicos tratados fueron: • Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, etc.
• Estudios de centros de gravedad y atracción gravitatoria -
Period: 1571 to
Etapa 2, Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630).
se utilizó para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas como por ejemplo el de Nova stereometria doliolum vinatorum. Su base estaba en pensar que todos los cuerpos se descomponen en partes infinitamente pequeñas de áreas o volúmenes conocidos. -
Period: to
Etapa 2, Metodo de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647)
fue aplicado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. El representaba los objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar -
Period: to
Etapa 2, Metodo de Barrow
Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y Δy actuales. -
Etapa 2, Método de Fermat para buscar extremos de curvas
lo aplico a las “parábolas e hipérbolas de Fermat”. El método se aplica para buscar extremos de curvas y consiste en considera que en una cumbre o en un valle de la curva, cuando es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+e) están tan próximos que se pueden tomar iguales las funciones se dividen por e y tomamos e=0, si bien no habla de limite, pero está bastante cerca. -
Etapa 2, Metodo de las tangentes
En un intento de clarificar dicho método, Descartes crea uno propio basándose en la carta que le envió Mersenne y, así, considera que la curva y su tangente en un punto coinciden. Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto P= (x, f(x)) y, para ello, calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de triángulos. Pero Fermat no usa el concepto de límite ni el de derivada debido a que no calcula la pendiente de la recta tangente, sólo la subtangente. -
Period: to
Etapa 2, revolucion de Leibniz
por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias. Usa una notación que perdura actualmente, pero no aclara lo que, para él significa “infinitamente pequeño” -
Period: to
Etapa 2, revolucion de Newton
es el creador de la teoría de fluxiones, un método natural de lo geometrico-mecanica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal. La teoría de fluxiones resuelve dos problemas: la determinación de la relación entre fluxiones, conocidas la relación entre fluentes y el recíproco, dada la relación entre fluxiones, encontrar las fuentes. en 1704 en su obra explicita el método de las "razones primeras y últimas", lo cual desperto criticas en el mundo matematico -
Period: to
Etapa 3, Fundamentacion de Euler
toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. -
Period: to
Etapa 3, fundamentacion de D'Alembert
crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. “Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante, la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable.”. -
Period: to
Etapa 3, fundamentacion Lagrange (1736-1813):
trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite. -
Etapa 3: Paso a la fundamentación del análisis infinitesimal (Segunda mitad del S.XVIII)
a partir de la teoría de las razones primeras y últimas, los matemáticos de la época obtienen solución para muchos problemas. La dificultad del momento fue la necesidad de extender las operaciones para análisis ante el desarrolló del análisis infinitesimal, para ello, se tuvo que investigar sobre el concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. Los matemáticos del siglo se preocuparon por la fundamentación de sus análisis y buscaron eliminar lagunas clarificando los matices místicos. -
Period: to
SIGLO XIX Y PRINCIPIOS DEL SIGLO XX. ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función, la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos. De estos matemáticos destaco a: Cauchy
Bolzano
Weierstrass -
Aritmetizacion de Cauchy
Retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso, pero aún impreciso. La noción de límite dada por D’Alembert es más objetiva que la de Cauchy, ya que en ésta aparece el término "tanto como queramos" que la subjetiviza -
Aritmetizacion de Bolzano
da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho, la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite. -
Aritmetizacion de Weierstrass
dio una definición satisfactoria del concepto de límite, esta aparece en la obra de su discípulo Elemente:
"Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0".
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.