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Formuló las leyes de la mecánica y las aplicó para describir el movimiento planetario.
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Enunció por primera vez el principio variacional aplicado a la propagación y reflexión de la luz en un medio.
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Estableció el principio fundamental de mínima acción.
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Resolvió por primera vez el problema de valores propios mediante el desarrollo de un modelo matemático simple, que describía una viga elástica vertical.
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Introdujo la idea de superficies características y conos característicos.
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Aportó el enfoque geométrico de las ecuaciones diferenciales, desarrolló la mecánica analítica como aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales al movimiento de cuerpos rígidos y el método de las características para encontrar la solución de ecuaciones cuasi-lineales.
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Introdujo por primera vez el concepto de potencial, contribuyo significativamente al desarrollo de la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, implementó el método de la transformada de Laplace.
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Elaboró un nuevo principio variacional de mecánica conocido como principio de Hamilton, el cual describe la acción estacionaria para un sistema dinámico conservativo.
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Aporto significativamente a la teoría del potencial mediante sus ecuaciones para campos electromagnéticos.
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Empleó por primera vez el principio variacional en la teoría electromagnética, derivando las ecuaciones de Maxwell para un campo electromagnético en el vacío.
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Formuló el principio de acción estacionaria en electrodinámica en una forma simétrica de cuatro dimensiones.
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Demostró que la integral de acción permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz.
