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Period: 1500 to
Revolucion cienífica hasta Newton y Leibnitz
Esta etapa se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a
problemas físicos, aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los
conceptos matemáticos y procedimientos involucrados. -
1571
Kepler
Figura clave en la revolución científica, fue un astrónomo y matemático alemán; conocido fundamentalmente por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. -
Period: 1571 to
Método de los infinitésimos de Kepler
Era utilizado para resolver problemas de
medidas de volúmenes o áreas como los que aparecen en Nova stereometria doliolum
vinatorum. La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen
en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos. -
Period: to
Método de los indivisibles de Cavalieri
Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una 8 superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar. -
Period: to
Método de Barrow
Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él
aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y Δy actuales. -
Método de Fermat para buscar extremos de curvas
Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas
de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε
es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+ε) están tan próximos que se pueden tomar
iguales. El método consiste en hacer f(x+ε)=f(x), dividirlo por ε y tomar ε=0. Si bien no habla
de límite, está bastante cerca. -
Método de las tangentes
Fermat envía a Mersenne en 1637 una memoria que se titula Sobre
las tangentes a las líneas curvas donde parece plantear un método para calcular tangentes en un
punto de cualquier curva, si bien sólo lo utiliza con la parábola. -
Leibnitz
contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre
las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la
razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente
pequeñas estas diferencias. Usa una notación que perdura actualmente, pero no aclara lo que,
para él significa “infinitamente pequeño”. Para peor, a veces habla de "infinitamente,
infinitamente pequeño". -
Newton y Leibnitz
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Newton
es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza
geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal.
Propone el método de las fluxiones, expuesto en la obra Methodus fluxionum et serierum
infinitorum (publicada en 1736), donde se estudian las magnitudes variables, introducidas como
abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo denominadas fluentes. -
Period: to
paso a la fundamentación del analisis Infinitesimal
Utilizando infinitésimos pequeños y grandes, que surgen de la teoría de las razones primeras y
últimas de Newton, los matemáticos de la época obtienen solución para muchos
problemas.La dificultad más importante para el desarrollo del análisis infinitesimal era la
necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor número de funciones,
se requería una idea clara de dependencia funcional y, fue necesario investigar el significado del concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. -
Euler
(1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método
de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde
entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la
regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y
composiciones de funciones elementales. -
D'Alembert
(1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y
últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie, D´Alembert escribe la siguiente
definición de límite: -
D'Alembert
“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad,
cuando la segunda puede aproximarse a la primera
más que cualquier cantidad dada por pequeña que
se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad
que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad
a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre
una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable.” -
Lagrange
(1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los
resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo
desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas
necesitaba del concepto de límite. -
Bolzano
(1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra
de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite. -
Cauchy
(1789-1857). Retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el
planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades
de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún impreciso. La definición
de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente: -
Cauchy
“…, cuando los sucesivos valores que toma una variable
se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de
manera que terminan por diferir de él en tan poco
como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás” -
Period: to
Arimetizacoón del Análisis
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya
reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis
matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la
clarificación del concepto de función, -
Weierstrass
(1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una
definición satisfactoria del concepto de límite.
Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él,
esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática,
definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. Esta definición, que aparece en
la obra de su discípulo Heine Elemente -
Weierstrass
"Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0,
la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que
ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para
x=x0".
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras
como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso
universalizado de la misma.