Развитие математики

Операции с числами (точная дата не известна)

2700 BCE

Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление.

Возникновение арифметики и геометрии (точная дата не известна)

2700 BCE

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.
Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления.
Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел.

Древний восток (Египет)

2600 BCE

Математика использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов и самих денег в Египте не было.В настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян.

Древний Египет (продолжение)

1900 BCE

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, (84задачи), московский папирус Голенищева (25 задач).Задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практической деятельностью тех времен. Это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, нахождение отношений, возведение в степени, определение средн. арифм.,арифметические прогрессии, решение уравнений 1,2 степени с одним неизвестным.

Древний восток (Вавилон)

1800 BCE

Вавилоняне решали уравнения второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи;использовалась геометрическая терминология Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре.Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений.

Древний Вавилон(продолжение)

1700 BCE

Вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, делением часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц. В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус.Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия.
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и лишена доказательной базы.

Древняя Греция(Пифагорейская школа)

600 BCE

В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур и элементы теории чисел ( понятия простого числа, взаимно простых чисел и т.д). В этой же школе были открыты три из пяти правильных тел: куб, тетраэдр и додекаэдр.

Создание геометрической алгебры в Пифагорейской школе

450 BCE

Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был менее удобен. Были сформулированы три знаменитые задачи древности:
1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного),
2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части)
3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу).
Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу).

Теэтет

390 BCE

Афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациоиальностей и начал классификацию их. Определил простейшие классы квадратичных иррациональностей,которые были впоследствии описаны в «Началах» Евклида. Ему же принадлежит открытие октаэдра и икосаэдра

Евдокс Книдский

350 BCE

Математик Евдокс из Книда создал общую теорию отношений для однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Для определения площадей и объемов он разработал «метод исчерпывания». В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда:
если а>b, то можно повторить b столько раз, что nb>a Евдокс доказал, что конус равновелик 1/3 цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту.

Евклид и его заключения

300 BCE

Евклид(на рис) создал «Начала», в которых подвел итог всему предшествующему развитию античной математики.В «Началах» изложены геометрия, элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь сформулирован алгоритм Евклида для нахождения НОД двух чисел, доказано, а также, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.

Методы Архимеда

290 BCE

Архимед (на рис.) разработал методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел. Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчислений. Архимед нашел все полуправильные многогранники. С помощью конических сечений он решал кубические уравнения видам х2(а±х)=b и проводил полное их исследование.

Древний Китай

190 BCE

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным.Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске(суаньпань на рис), где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э.

Аполлоний

190 BCE

Аполлоний систематически и всесторонне исследовал конические сечения. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания ана­литической геометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проективной геометрии В. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при исследованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Галилея и И. Ньютона.

Древний Китай(продолжение)

160 BCE

Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах»(на рис.).
Китайцам было известно вся базовая арифметика, нахождение НОД и НОК, действия с дробями, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработан метод фан-чэн для решения систем произвольного числа линейных уравнений. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь-юань.

Менелай Александрийский

109

Менелай создал систематический курс сферической геометрии, построенный по образцу «Начал» Евклида, и развил сферическую тригонометрию.

Клавдий Птолемей

140

Птолемей в своих астрономических трудах изложил плоскую и сферическую тригонометрию; он вывел формулу, равносильную формуле
sin (a ± b) == sin a.cos b± cos a . sin b, и составил подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля.

Диофант Александрийский

230

Диофант Александрийский написал «Арифметику», в которой расширил числовую область до поля рациональных чисел, сформулировал правило умножения относительных чисел, ввел алгебраическую символику: знаки для первых шести положительных и отрицательных степеней неизвестного, для вычитания и равенства. В «Арифметике» рассмотрены проблемы решения неопределенных уравнений в рациональных числах и даны методы для нахождения рациональных решений неопределенных уравнений второй и третьей степени

Математика стран Востока(Брахмагупта)

Dec 20, 628

Около 628 г. — Брахмагупта(изобр.на рис), оперируя отрицательными числами, дал единое правило для решения любого квадратного уравнения, сформулировал правила действий с нулем, который благодаря этому стал числом, равноправным с другими числами. Брахмагупта пользовался алгебраической символикой: специальными знаками для неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.

Математика стран Востока(Мухаммед ал-Хорезми)

Dec 20, 850

Мухаммед ал-Хорезми (изобр.на рис) объяснил правила действий с числами, записанными в десятичной позиционной системе, и исследовал квадратные уравнения. Слова «алгебра» и «алгоритм» впервые появились в переводе его трактатов. Первое из них означало операцию переноса членов из одной части уравнения в другую, а второе — искаженное имя автора (ал-Хорезми — Algorithmi), оно применялось первоначально только для обозначения правил вычисления по десятичной позиционной системе.

Математика стран Востока(Омар Хайям)

Dec 20, 1050

Математик и поэт Омар Хайям (изобр. на рис.) в трактате по алгебре решал геометрически кубические уравнения (по методу Архимеда). Комментируя «Начала» Евклида, он сблизил понятия отношения и числа. Ко времени Хайяма была известна формула возведения бинома в любую целую положительную .степень и способ извлечения корня любой степени.

Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения

Dec 21, 1100

XII—XIII вв. — на латинский язык переведены арабские и греческие сочинения по математике. Постепенно в Европе распространилась десятичная позиционная система.
XIII в. — Леонардо Пизанский (Фибоначчи)(изобр.на рис) изложил новую позиционную нумерацию, дал сведения по алгебре и арифметике, рассмотрел различные числовые ряды.
XTV—XV вв. — усовершенствована алгебраическая символика, введены обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.

Математика стран Востока(Бхаскара-акарья)

Dec 20, 1140

Бхаскара-акарья(изобр.на рис.) сформулировал все правила действий с отрицательными числами. Бхаскара знал, что благодаря двузначности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения

Математика стран Востока(Насирэддин Туей)

Dec 20, 1260

Насирэддин Туей(изобр. на рис.) написал трактат по сферической геометрии и тригонометрии, содержавший учение о решении треугольников. Трактат сыграл решающую роль для развития тригонометрии в Европе.

Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения(часть1)

Dec 21, 1380

XTV—XV вв. — усовершенствована алгебраическая символика, введены обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.
XVI в. — первый крупный успех европейской математики: С. Ферро, Н. Тарталья(изобр. на рис) и Дж. Кардано решили уравнение третьей степени в радикалах и ученик Кардано, Л. Феррари, — уравнение четвертой степени.

Математика стран Востока(Джемшид ал-Каши)

Dec 20, 1450

Джемшид ал-Каши(изобр.на рис), работавший в обсерватории Улугбека близ Самарканда, ввел и применял десятичные дроби: десятичная позиционная система была распространена на запись любых действительных чисел. Он вычислил число p с точностью до 17 десятичных знаков.

Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения(Р. Бомбелли)

Dec 21, 1572

В «Алгебре» Р. Бомбелли впервые рассмотрел мнимые числа a+b и сформулировал правила действий с ними. Сами эти числа он трактовал как символы, удобные для получения результатов относительно действительных чисел.

Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения(С. Стевин,Ф. Виет)

Dec 21, 1585

С. Стевин ввел десятичные дроби. XVI в. (вторая половина) — Ф. Виет(изобр. на рис.) ввел буквенные обозначения для неизвестных и постоянных величин и создал математическую формулу

Развитие анализа бесконечно малых

Period: Dec 21, 1608 to Dec 22, 1660

Развитие анализа бесконечно малых (методов определения объемов, площадей, центров тяжестей, касательных, экстремумов, скоростей, ускорений) в работах И. Кеплера, Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля, Дж. Валлиса, И. Барроу и др

Период математики переменных величин(Дж. Непер)

Dec 21, 1614

Дж. Непер (изобр. на рис) ввел логарифмы и опубликовал первые логарифмические таблицы. Несколько позднее таблицы логарифмов опубликовал И. Бюргиввел логарифмы и опубликовал первые логарифмические таблицы. Несколько позднее таблицы логарифмов опубликовал И. Бюрги

Период математики переменных величин(Р. Декарт и П. Ферма)

Dec 21, 1636

1636—1637 гг. — Р. Декарт(изобр.на рис) и П. Ферма ввели в математику метод координат, который позволил сводить геометрические задачи к алгебраическим. Независимо друг от друга Декарт и Ферма строили с помощью нового метода аналитическую геометрию. Декарт придал алгебраической символике современный вид.

(Период математики переменных величин )П.Ферма

Period: Dec 21, 1640 to Dec 22, 1650

40—50-е годы XVII в. — П. Ферма сформулировал знаменитые проблемы теории чисел, которые в течение 200 лет оставались центральными в этой науке.

Период математики переменных величин (XVII—XVIII вв.)

Dec 21, 1650

В XVII в. сделала большие успехи механика земных и небесных тел,возникли проблемы изучения зависимостей одних величин от других, проблемы определения скоростей, ускорений, площадей криволинейных фигур и т. д. Для решения этих проблем в математике не было готового аналитического аппарата. Ученые начали искать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. В результате функция стала таким же основным объектом математики, как число и величина.

Период математики переменных величин(И. Ньютон, Г. Лейбниц)

Period: Dec 21, 1660 to Dec 22, 1680

И. Ньютон (с 1665 г.) и Г. Лейбниц (с 1673 г.) независимо друг от друга создали дифференциальное и интегральное исчисления и ввели в математику важнейший аналитический аппарат для представления и изучения функций — степенные ряды. Ньютон распространил формулу возведения бинома в степень на случай, когда показатель есть любое рациональное число.

Период математики переменных величин(Б. Паскаль)

Dec 21, 1665

Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике», выводя свойства биномиальных коэффициентов и соотношения между ними, сформулировал и применил принцип полной математической индукции.

Период математики переменных величин (И. Ньютона)

Dec 21, 1687

Вышла в свет книга И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», в которой было дано математическое построение основ классической механики земных и небесных тел.

Период математики переменных величин(Я. Бернулли)

Dec 21, 1713

Вышло в свет (посмертно) сочинение Я. Бернулли, содержащее простейшую форму закона больших чисел — одного из основных законов теории вероятностей.

Период математики переменных величин (Л. Эйлер)

Dec 21, 1740

40-е годы XVIII в. — Л. Эйлер(на рис.) развил учение о функциях как действительного, так и комплексного переменного.Определил логарифмы отрицательных и мнимых чисел.
30—60-е годы XVIII в. — Л. Эйлер доказал основные теоремы элементарной теории чисел, исследовал квадратичные вычеты и открыл квадратичный закон взаимности — один из основных в высшей арифметике. Эйлер доказал частный случай великой теоремы Ферма.

Период математики переменных величин (Ж. Лагранж)

Dec 21, 1770

Ж. Лагранж проанализировал все методы решения в радикалах уравнений первых четырех степеней и показал, почему всё эти методы не годятся для решения уравнений пятой степени. Он открыл, что разрешимость уравнений в радикалах зависит от свойств группы перестановок корней этого уравнения, и тем самым обратил внимание на значение изучения групп.

Период математики переменных величин (К. Гаусс)

Dec 21, 1796

1796 г. — К. Гаусс показал, что если n — простое число, то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.
1801 г. — К. Гаусс создал основы теории чисел. Он впервые развил теорию сравнений, доказал основные теоремы этой теории, изучил до конца теорию квадратичных вычетов, изложил теорию уравнений деления круга.
1827 г. — К. Гаусс развил так называемую внутреннюю геометрию поверхностей, в которой каждая поверхность выступает как носительница свойств особой геометрии.

Период математики переменных величин (К. Вессель)

Dec 21, 1799

1799 г. — К. Вессель дал геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Однако его работы остались неизвестными. В 1806 г. аналогичная геометрическая интерпретация была предложена Ж. Арганом.

Период математики переменных величин (О. Коши)

Dec 21, 1821

О. Коши развил теорию пределов и на основе ее построил учение о функциях, определил понятие суммы ряда, непрерывности функции, а позднее учение о пределах положил в основу всего математического анализа. Коши принадлежит также разработка основ теорий функций комплексного переменного (1825)

Период математики переменных величин (Лобачевский)

Dec 21, 1829

Н. И. Лобачевский опубликовал свои первые работы по неевклидовой геометрии, которые открыли новую эру в истории геометрии.
Независимо от Н. И. Лобачевского систему неевклидовой геометрии построил Я. Больяй

Период математики переменных величин (У. Гамильтон)

Dec 21, 1840

1840—1851 гг. — У. Гамильтон обобщил понятие комплексного числа, построив кватернионы.

Период математики переменных величин (Э. Куммер)

Dec 21, 1847

Э. Куммер при помощи введения так называемых идеальных чисел построил арифметику целых чисел полей деления круга.

Период математики переменных величин (П. Л. Чебышёв)

Dec 21, 1849

П. Л. Чебышёв получил первые после Евклида точные результаты о распределении простых чисел в натуральном ряду

Период математики переменных величин (Б. Риман)

Dec 21, 1864

Б. Риман, обобщая идеи Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, дал способ построения всевозможных метрических неевклидовых геометрий. Римановы геометрии стали впоследствии основным математическим аппаратом общей теории относительности. Частным случаем римановых геометрий являются геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Период математики переменных величин (Р. Дедекинд, И. Золотарев и Л.Кронекер и др.)

Period: Dec 21, 1871 to Dec 22, 1889

1871—1889 гг. — Р. Дедекинд, Е. И. Золотарев и Л. Кронекер независимо друг от друга и разными методами построили арифметику целых чисел любого поля алгебраических чисел. При этом Дедекинд ввел с помощью систем аксиом такие основные понятия современной алгебры, как кольцо, модуль и идеал.
1881—1882 гг. — Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс построили тремя различными способами теорию действительных чисел.

Период математики переменных величин (Д. Гильберт)

Dec 21, 1899

Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» построил полную аксиоматику геометрии Евклида и проанализировал соотношения между различными группами аксиом. С этого времени большое развитие в математике получил аксиоматический метод

Современная математика(продолжение)

Dec 21, 1900

Математические методы проникли почти во все отделы физики, в химию, а в последние десятилетия — в биологию, медицину, лингвистику, экономику. Сама математика необыкновенно расширилась количественно и претерпела глубокие качественные изменения. В целом она поднялась на более высокую ступень абстракции.

Современная математика

Dec 21, 1900

В XX в. были созданы новые математические теории, как, например, топология, математическая логика, и коренным образом преобразованы старые, изменился сам язык математики, так что математику XIX в. для чтения современных книг пришлось бы переучиваться заново. Понятия, методы и конструкции современной математики носят весьма общий характер. Соответственно чрезвычайно расширилось поле применения математических методов.