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Los primeros desarrollos en geometría, incluido el trabajo en triángulos similares y rectos
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Expansión de la geometría, números cuadrados y triangulares, el teorema de Pitágoras
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Describe una serie de paradojas relacionadas con el infinito y los infinitesimales
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Sólidos platónicos, declaración de los tres problemas clásicos, profesor influyente y divulgador de las matemáticas, insistencia en pruebas rigurosas y métodos lógicos
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Declaración definitiva de la geometría clásica (euclidiana), uso de axiomas y postulados, muchas fórmulas, pruebas y teoremas, incluido el teorema de Euclides sobre la infinitud de primos
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Reglas matemáticas básicas para tratar con cero (+, - y x), números negativos, raíces negativas de ecuaciones cuadráticas, solución de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas
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Abogacía de los números hindúes 1 - 9 y 0 en el mundo islámico, fundamentos del álgebra moderna, incluidos los métodos algebraicos de "reducción" y "equilibrio", solución de ecuaciones polinómicas hasta segundo grado.
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Fibonacci Secuencia de números, promoción del uso del sistema numeral hindú-árabe en Europa, la identidad de Fibonacci (producto de dos sumas de dos cuadrados es en sí misma una suma de dos cuadrados)
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Uso de series infinitas de fracciones para dar una fórmula exacta para π, fórmula sinusoidal y otras funciones trigonométricas, paso importante hacia el desarrollo del cálculo
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Fórmula para resolver todo tipo de ecuaciones cúbicas, que implica el primer uso real de números complejos (combinaciones de números reales e imaginarios), el triángulo de Tartaglia (versión anterior del triángulo de Pascal)
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Invención de logaritmos naturales, popularizó el uso del punto decimal, herramienta Napier's Bones para la multiplicación de celosía
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Desarrollo de coordenadas cartesianas y geometría analítica (síntesis de geometría y álgebra), también acreditado con el primer uso de superíndices para poderes o exponentes
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Descubrió muchos patrones y teoremas de nuevos números (incluidos el Teorema pequeño, el Teorema de dos cuadrados y el Último teorema), ampliando enormemente el conocimiento de la teoría numérica, también contribuyó a la teoría de la probabilidad
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Cálculo infinitesimal desarrollado independientemente (aún se utiliza su notación de cálculo), también máquina de cálculo práctica que utiliza el sistema binario (precursor de la computadora), ecuaciones lineales resueltas utilizando una matriz
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Hizo contribuciones importantes en casi todos los campos y encontró vínculos inesperados entre diferentes campos, probó numerosos teoremas, fue pionero en nuevos métodos, notación matemática estandarizada y escribió muchos libros de texto influyentes.
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Patrón en la aparición de números primos, construcción de heptadecagón, teorema fundamental de álgebra, exposición de números complejos, método de aproximación de mínimos cuadrados, distribución gaussiana, función gaussiana, curva de error gaussiana, geometría no euclidiana, curvatura gaussiana
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Geometría elíptica no euclidiana, superficies de Riemann, geometría de Riemann (geometría diferencial en múltiples dimensiones), teoría del múltiple complejo, función zeta, hipótesis de Riemann
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Solución parcial al "problema de los tres cuerpos", fundamentos de la teoría moderna del caos, teoría extendida de la topología matemática, conjetura de Poincaré
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Probó más de 3.000 teoremas, identidades y ecuaciones, incluso en números altamente compuestos, función de partición y sus funciones asintóticas, y funciones Theta simuladas
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Rompimiento del código de enigma alemán, máquina de Turing (precursora lógica de la computadora), prueba de Turing de la inteligencia artificial
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Trabajar en problemas de decisión y décimo problema de Hilbert, hipótesis de Robinson
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El trabajo en teoría de juegos, geometría diferencial y ecuaciones en derivadas parciales, proporcionó información sobre sistemas complejos en la vida cotidiana, como economía, informática y militar
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Demostró que la hipótesis del continuo podría ser verdadera y no verdadera (es decir, independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel)
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Final proof that Hilbert’s tenth problem is impossible (there is no general method for determining whether Diophantine equations have a solution)
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Finalmente probó el último teorema de Fermat para todos los números (al probar la conjetura Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables)
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Finalmente, se demostró la conjetura de Poincaré (al demostrar la conjetura de geometrización de Thurston), las contribuciones a la geometría riemanniana y la topología geométrica
