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Hamilton presentó los primero trabajos sobre irracionales.
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Weierstrass presenta su propia teoría de irracionales sustentada en las clases de racionales.
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Meray ofrece una definición de los irracionales basada en los racionales.
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Cantor presentó su teoría de irracionales construidos a partir de sucesiones de racionales.
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Presentada por Heine y Dedekind
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Se publica el método de Luilville para la construir cualquier número dentro de una clase de números trascendentes. En el mismo año aparece la demostración de Hermite sobre e.
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Al estudiar los problemas de equipotencia, Cantor
plantea la no enumerabilidad de los reales, -
Cantor demuestra que los puntos de la recta real y los puntos del espacio n-dimensional Rn con n 1 son equipotentes.
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Stolz mostró que cada número irracional tiene una representación decimal no periódica y que esa característica funcionaba como propiedad definitoria
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Teoría de los enteros presentada por Dedekind en su famosa obra Was sind und was sollen die Zahlen, publicada en 1888 y que recogía sus trabajos desde 1872 hasta 1878
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Cantor encuentra que la colección de todos los ordinales, que es una colección bien ordenada, no podía ser tratada como un conjunto, pues sería de hecho un ordinal y por tanto debería ser isomorfa con un segmento propio, lo cual es contradictorio.
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Grassmann inicio el proceso de respuesta,
demostrando las propiedades básicas de los naturales a partir de la operación x → x+1 yel Principio de Inducción Matemática, que había sido concebido por Pascal en el siglo XVII y que era
usado como cosa sabida por un buen número de matemáticos. -
Berstein probó que si a≤b y b≤a entonces a≈b
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sí la colección de los números cardinales era real
mente un conjunto, pues argumentaba que, en caso de serlo, su cardinal sería mayor que cualquier otro, generando de nuevo una contradicción. -
Cantor le planteó la imposibilidad de con
siderar la existencia de un conjunto universal, entendido como aquel que contiene a todos los demás, porque estaría forzado a contener dentro de sí a su conjunto de partes, lo cual a todas luces resultaba imposible. -
apareció publicada en The Principles
of Mathematics en 1903 y retomaba, en términos conjuntistas, la famosa paradoja de Epiménides. Russell consideró la colección M = {x:x ∉ x} osea la colección formada por todos los elementos que no se pertenecen a sí mismos y se preguntó si M ∈ M. Si M ∈ M entonces M debe satisfacer la propiedad defin itoria, esto es, M ∉M, pero si M ∉ M entonces M satis face la definición y por tanto M∈ M. Es decir se cumple que M ∈ M ↔ M ∉ M y la contradicción salta. -
Zermelo estableció el Principio de Buena Ordenación ya intuido por Cantor desde 1883.
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Un subconjunto de números naturales se llamará richardiano si es un conjunto infinito, con complemento infinito, que puede ser descrito en un número finito de las palabras de un lenguaje
natural dado. tal y como el conjunto de los números primos, pues es un subconjunto infinito de los naturales, su complemento es infinito y la pertenencia a él se puede describir con la expresión finita “un número natural es primo sí y solo sí tiene exactamente dos divisores”. -
Esta paradoja fue publicada por Russell, la versión original es como sigue: “Algunos ordinales son definibles en un número finito de palabras. Supongamos que existe algún ordinal que no se puede definir así. Los ordinales menores forman una serie bien ordenada. Por lo tanto, si entre ellos hay algunos que no son definibles en un número finito de palabras, hay uno que debe ser el mínimo que no es definible en un número finito de palabras. esto es absurdo, acabo de definirlo en 23 palabras”