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Kleene nació en Hartford, Connecticut, Estados Unidos.
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Obtuvo su titulo de pre-grado en matemáticas de Amherst College
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Recibió su titulo de doctorado en matemáticas de la Universidad de Princeton
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Profesor en la Universidad de Wisconsin y luego en la Universidad de Amherst.
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Contrajo matrimonio con Nancy Elliott
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Durante la segunda guerra mundial sirvió en la reserva naval
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Al terminar la guerra regresó como profesor a la Universidad de Wisconsin y ocupó otros cargos administrativos.
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Primer libro publicado.
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Uno de sus libros más famosos
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Le fue otrogado el premio Leroy p Steele
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Le fue otorgada la Medalla Nacional de ciencias por el presidente Bush
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Murió en madison Wisconsin, donde paso la mayor parte de su vida
