-
Заснував Варіаційне числення — розділ математики про екстремуми функціоналів.
-
Опублікував "Арифметичні дослідження", заклавши основи сучасної теорії чисел та систематично розвинувши теорію порівнянь.
-
Встановив строгі основи математичного аналізу, визначивши поняття границі, неперервності та похідної.
-
Довів неможливість розв'язання загального рівняння п'ятого степеня у радикалах.
-
Розробив Теорію груп (теорія Галуа), яка пов'язала теорію алгебраїчних рівнянь з теорією груп підстановок, заклавши основи абстрактної алгебри.
-
Сформулював поняття Ріманової геометрії, що узагальнює неевклідову геометрію та стала основою для Загальної теорії відносності Ейнштейна.
-
Опублікував "Дослідження законів думки", представивши Булеву алгебру — логічну систему, яка є основою сучасної інформатики та цифрових схем.
-
Ввів поняття Дедекіндового перерізу для строгого визначення ірраціональних чисел та завершення побудови системи дійсних чисел.
-
Створив Теорію множин, ввівши поняття потужності множин (кардинальних чисел) та трансфінітні числа, революціонізувавши математику.
-
Опублікував "Аналіз механіки", заклавши основи Теорії динамічних систем (теорія хаосу).